Yaudah sama aja dengan tahu kemudian selanjutnya kita Tambahkan lagi dengan akar dari 1 - 2 dibagi tak hingga dikurangin 1 dibagi tak hingga Nah di sini karena tak hingganya sudah kita substitusikan ya itu maksudnya sudah kita tuh substitusi dengan tak hingga maka limitnya Tuh hilang sehingga di sini hasilnya itu menjadi = akar dari 1 ya 1 + 3 Teksvideo. Disini kita memiliki soal limit tak hingga nah konsep yang akan kita gunakan di sini adalah apabila kita memiliki limit x menuju tak hingga dari akar x kuadrat ditambah b x tambah C kurangnya dengan akar x kuadrat + QX + r dan syarat yang pertama adalah apabila a = p maka hasil limitnya bisa kita dapatkan yaitu = B dikurangi q dibagi 2 akar a. Karenapenyebut ada di dalam akar maka kita bagi dengan x 2 sehingga diperoleh . Bentuk Eksponen. Jika kita memiliki bilangan a dengan -1 < a < 1 maka. Misalnya . Contoh Soal 6 : Jawab : Jika pembilang maupun penyebut kita bagi dengan 5 x maka diperoleh . Beberapa artikel yang berkaitan dengan limit. antara mendekati nol dan tak hingga limit soaldan pembahasan limit tak hingga bentuk akar 1 3. belajar limit fungsi aljabar June 15th, 2018 - Kunci dari menghitung limit mendekati tak hingga bentuk pecahan aljabar adalah bagilah pembilang dan penyebut dengan x yang memiliki pangkat tertinggi' 'Limit Fungsi Trigonometri maths id Teksvideo. jika kita melihat soal seperti ini diketahui limit x menuju tak hingga dikalikan 6 akar x * cos 3 per akar X dikali Sin 5 per akar x Bagaimana cara mengerjakannya bersama-sama dulu menjadi bentuk seperti ini b y = akar x akar x adalah bilangan tak hingga dan kita akar makanya bijinya adalah akan mendekati 0 3 1 suatu bilangan yang sangat besar maka akan mendekati 0 nya selain itu JvVzWq. Matematika Dasar » Limit Fungsi › Limit Tak Hingga - Materi, Contoh Soal dan Pembahasan Limit Dengan konsep limit tak hingga, kita dapat mengetahui kecenderungan suatu fungsi jika nilai peubahnya bertambah besar tanpa batas atau \x\ menuju tak hingga, \x → ∞\. Oleh Tju Ji Long Statistisi Hub. WA 0812-5632-4552 Pada artikel sebelumnya kita telah belajar mengenai definisi limit dan limit fungsi aljabar. Pada artikel tersebut kita hanya mempelajari limit di mana nilai \x\ mendekati suatu bilangan yang berhingga baik positif maupun negatif. Misalnya, \ \lim_\limits{x\to 2} fx \ atau lebih umumnya \ \lim_\limits{x\to c} fx \ di mana \c\ suatu bilangan yang berhingga. Namun, tak jarang kita akan menjumpai limit di mana nilai \x\ mendekati tak hingga yakni \ \lim_\limits{x\to\infty} fx \. Dengan konsep limit tak hingga ini, kita dapat mengetahui kecenderungan suatu fungsi jika nilai variabel atau peubahnya dibuat semakin besar atau bertambah besar tanpa batas atau \x\ menuju tak hingga, dinotasikan dengan \ x \to \infty \. Misalkan terdapat fungsi \ fx = \frac{1}{x^2} \. Bayangkan apa yang terjadi dengan fungsi \fx\ jika \x\ bertambah semakin besar? Untuk menjawab ini, amati nilai fungsi \fx\ untuk nilai-nilai \x\ berikut. Dari ilustrasi di atas dapat kita lihat bahwa fungsi \fx\ semakin mendekati nol ketika \x\ semakin besar. Grafik dari fungsi tersebut dapat dilihat pada Gambar 1 di bawah. Gambar 1. Kurva \ y = 1/x^2 \ Dari Gambar 1 terlihat bahwa kurva \ y = \frac{1}{x^2} \ semakin mendekati garis \y = 0\ ketika \x\ semakin besar. Secara intuitif, kita simpulkan bahwa jika \x\ semakin besar tanpa batas maka nilai \ 1/x^2 \ semakin dekat ke nol. Dalam notasi limit, pernyataan ini ditulis Dengan demikian, kita peroleh sifat berikut ini. Sifat A Jika \n > 0\ dan \n\ bilangan rasional, maka Tentu saja, untuk mengetahui nilai suatu fungsi \fx\ ketika \x\ bertambah besar dengan mengambil beberapa nilai dan menghitung nilai fungsi tersebut lalu menggambarkannya pada grafik, bukan cara yang efisien. Dalam beberapa kasus, hal tersebut sulit atau bahkan tak dapat dilakukan. Sebagai contoh, perhatikan limit-limit berikut. Bagaimanakah bentuk grafik pada kedua limit di atas? Tentu saja, cukup sulit untuk mendapatkan grafik fungsi tersebut. Oleh karena itu, kita perlu cara lain untuk mengetahui kecenderungan nilai fungsi tersebut ketika \x\ bertambah besar. Sebenarnya, kita dapat gunakan cara substitusi langsung, jika hasil yang diperoleh bukan dalam bentuk tak tentu 0/0, \ ∞/∞ \, \ ∞-∞ \, dan bentuk tak tentu lainnya. Namun, jika hasil yang diperoleh adalah bentuk tak tentu maka kita gunakan metode lain. Contoh 1 Hitung \ \lim_\limits{x \to \infty } \, \left x^{3}-7x^{2} \right \. Pembahasan Jika kita gunakan metode substitusi langsung untuk menyelesaikan limit ini, maka akan diperoleh bentuk tak tentu \ \infty - \infty \. Namun, kita masih dapat gunakan metode substitusi langsung dengan terlebih dahulu mengubah fungsi dalam limitnya supaya tidak berbentuk tak tentu ketika nilai variabelnya disubstitusikan ke fungsi dalam limit. Perhatikan berikut ini. Perhatikan bahwa pada Contoh 1 kita menggunakan substitusi langsung karena hasil yang diberikan bukan dalam bentuk tak tentu. Karena kita tidak selalu dapat menggunakan metode substitusi, maka kita akan mempelajari metode lain untuk mencari limit tak hingga. Terdapat dua metode yang akan kita pelajari yakni metode membagi dengan pangkat tertinggi dan metode mengalikan bentuk sekawan. Metode Pembagian dengan Pangkat Tertinggi Metode ini diterapkan pada limit dengan fungsi berbentuk \ \lim_\limits{x\to∞} \frac{fx}{gx} \. Metode ini dapat dikerjakan dengan membagi fungsi pada pembilang \fx\ dan fungsi pada penyebut \gx\ dengan peubah \x^n\ berpangkat tertinggi yang ada dalam fungsi \fx\ dan \gx\. Lalu, lakukan penyederhanaan fungsi pada limit dan setelah itu baru disubstitusi dengan \ x \to ∞ \. Perhatikan beberapa contoh berikut. Contoh 2 Tentukan nilai dari \ \displaystyle \lim_\limits{x \to \infty }\,\frac{x^{3}-4x}{3x^{3}+x^{2}} \. Pembahasan Perhatikan fungsi yang ada dalam limit. Variabel dengan pangkat tertinggi dari pembilang adalah \x^3\. Begitu pula dengan penyebutnya. Jadi, variabel dengan pangkat tertinggi antara pembilang dan penyebutnya adalah \x^3\. Selanjutnya, bagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi yang telah diperoleh, yaitu \x^3\, kemudian hitung limit dari masing-masing suku dengan berpedoman pada sifat A yang telah kita bahas sebelumnya. Jadi, kita peroleh nilai limit sama dengan 1/3. Contoh 3 Hitung nilai dari \ \displaystyle \lim_\limits{x \to \infty }\,\frac{x^{3}-x}{x^{4}-2x^{2}+1} \. Pembahasan Perhatikan bahwa variabel dengan pangkat tertinggi dalam soal ini yaitu \x^4\. Jadi, bagi pembilang dan penyebut dari fungsi limitnya dengan variabel pangkat tertinggi, yaitu \x^4\, kemudian hitung limitnya. Jadi, kita peroleh nilai limit sama dengan 0. Contoh 4 Hitung nilai dari \ \displaystyle \lim_\limits{x \to \infty }\,\frac{x-x^{3}}{x^{2}-4} \. Pembahasan Bagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi dari pembilang, yaitu \x^3\, kemudian hitung limitnya. Jadi, kita peroleh nilai limit sama dengan \ -\infty \. Catatan Perhatikan bahwa di sini kita bisa melakukan pembagian dengan nol, karena kita sedang berbicara tentang limit, sehingga nilai nol yang dimaksud di sini tidak mutlak nol, melainkan 'mendekati nol'. Jadi, maksud dari -1/0 di atas adalah -1 dibagi dengan angka yang amat sangat kecil yang mendekati nol misalnya 0,00000000000001 sehingga diperoleh jawaban \-\infty\. Jika kita sedang tidak berbicara tentang limit, maka kita tahu pembagian dengan nol adalah tidak terdefinisi. Terdapat sifat yang berguna terkait metode pembagian dengan pangkat tertinggi ini. Kita cantumkan sebagai berikut. Sifat B Jika \px\ dan \qx\ adalah fungsi polinom dengan \ax^m\ dan \bx^n\ berturut-turut adalah suku pangkat tertinggi dari \px\ dan \qx\, maka Sifat di atas mengatakan bahwa nilai limit tak hingga untuk fungsi polinom ataupun rasional sama dengan nilai limit dari suku pangkat tertingginya. Dengan menggunakan sifat di atas, contoh 1 dan 2 dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut. Berdasarkan pangkat tertinggi pembilang dan penyebutnya, sifat B poin 3 dapat kita jabarkan lagi menjadi sebagai berikut. Sifat C Misalkan \px\ dan \qx\ adalah fungsi polinom dengan \ax^m\ dan \bx^n\ berturut-turut adalah suku pangkat tertinggi dari \px\ dan \qx\, maka Jika \m = n \, maka Jika \m n \, maka Sifat di atas dapat kita terjemahkan dalam tiga poin berikut. Jika pangkat tertinggi pembilang = pangkat tertinggi penyebut, nilai limitnya adalah koefisien pangkat tertinggi pembilang dibagi koefisien pangkat tertinggi penyebut. Jika pangkat tertinggi pembilang pangkat tertinggi penyebut, nilai limitnya = ∞ asalkan perbandingan koefisiennya positif atau -∞ asalkan perbandingan koefisiennya negatif Dengan menggunakan sifat C; Contoh 2, 3, dan 4 dapat diselesaikan cukup dengan memperhatikan suku pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebut, dalam hal ini adalah pangkat dan koefisiennya. Dalam Contoh 2, pangkat tertinggi pembilang sama dengan pangkat tertinggi penyebut sehingga berdasarkan Sifat C poin 1, nilai limitnya adalah koefisien pangkat tertinggi pembilang dibagi koefisien pangkat tertinggi penyebut, yaitu 1/3. Pada Contoh 3, pangkat tertinggi pembilang pangkat tertinggi penyebut dan perbandingan koefisiennya negatif sehingga berdasarkan Sifat C poin 3, nilai limitnya = -∞. Metode Perkalian dengan Bentuk Sekawan Metode ini diterapkan pada limit yang berbentuk \ \lim_\limits{x\to∞} fx-gx \. Untuk menyelesaikan limit dengan bentuk demikian, kita mengalikan dengan bentuk sekawannya. Perhatikan contoh berikut. Contoh 5 Tentukan nilai dari \ \lim_\limits{x \to \infty } \left 2x-\sqrt{4x^{2}+x} \right \. Pembahasan Lakukan analisa sederhana untuk memeriksa apakah limit tersebut merupakan bentuk tak tentu. Perhatikan bahwa jika \x \rightarrow \infty\ maka \2x\rightarrow \infty\ dan \\sqrt{4x^{2}+x}\rightarrow \infty\. Akibatnya, Dengan demikian, kita tidak dapat gunakan metode substitusi. Kita gunakan metode perkalian dengan bentuk sekawan, yakni Contoh 6 Hitunglah nilai dari \ \lim_\limits{x \to -\infty }\left \sqrt{x^{2}-2x}\;-4x \right \. Pembahasan Jangan terburu-buru mengalikan bentuk diatas dengan akar sekawannya. Lakukan analisa sederhana untuk memeriksa apakah limit tersebut merupakan bentuk tak tentu. Jika \x\rightarrow -\infty\ maka \\sqrt{x^{2}-2x}\rightarrow \infty\ dan \4x\rightarrow -\infty\. Akibatnya, Karena cara substitusi di atas tidak menghasilkan bentuk tak tentu, maka kita tidak perlu menggunakan metode perkalian akar sekawan. Dengan demikian, Contoh 7 Tentukan nilai dari \ \lim_\limits{x \to \infty } \sqrt{1 + x} - \sqrt{x} \. Pembahasan Dengan cara substitusi langsung akan diperoleh bentuk tak tentu \ \infty-\infty \ sehingga kita gunakan metode perkalian akar sekawan. Berikut hasil yang diperoleh Terdapat teorema yang penting terkait dengan perkalian bentuk sekawan yang perlu Anda ketahui. Kita cantumkan sebagai berikut. Teorema Jika \a = p\ dan \a, p ≠ 0\ maka Bukti a Untuk \a = p\, bentuk pada poin a teorema di atas dapat diubah menjadi Kalikan dengan akar sekawannya lalu sederhanakan sehingga diperoleh Bukti b Untuk \a = p\, bentuk pada poin b teorema di atas dapat diubah menjadi Kalikan dengan akar sekawannya lalu sederhanakan sehingga diperoleh Perlu kita ingat bahwa untuk \x → -∞\ maka \ \sqrt{x^2} = -x \. Akibatnya, hasil yang kita peroleh di atas menjadi Contoh 8 Hitung limit berikut dengan menggunakan teorema yang telah diberikan di atas. Pembahasan Kita akan menghitung limit dari suku konstan secara terpisah dan hitung limit dari suku lainnya menggunakan teorema yang diberikan di atas, dengan terlebih dahulu menyatakannya dalam bentuk akar. Teorema-teorema untuk Limit Tak Hingga Untuk limit limit tak hingga, terdapat beberapa teorema yang perlu diperhatikan. Jika \n\ adalah bilangan bulat, \k\ konstanta, fungsi \f\ dan fungsi \g\ adalah fungsi-fungsi yang memiliki nilai limit yang mendekati bilangan c, maka Contoh-contoh Soal Berikut ini kita akan membahas lebih banyak contoh soal terkait limit tak hingga. Contoh 9 Untuk n bilangan asli dan \a_0 ≠ 0\, tunjukkan bahwa Pembahasan Contoh 10 Hitunglah limit berikut. Pembahasan Misalkan \ u = \frac{1}{x} \, maka \ x = \frac{1}{u} \. Jika \ x \to \infty \, maka \ u \to 0 \. Akibatnya, Misalkan \ u = \frac{1}{x} \, maka \ x = \frac{1}{u} \. Jika \ x \to \infty \, maka \ u \to 0 \. Akibatnya, Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan jika ada yang kurang jelas dari artikel ini silahkan tanyakan di kolom komentar. Terima kasih. Kesempatan kali ini saya akan membahas bagaimana cara menyelesaikan persmalahan limit mendekati tak hingga yang saat ini dipelajari di kelas XII pada mata pelajaran matematika peminatan untuk kurikulum 2013 revisi. Namun yang akan kita bahas, saya khususkan membahas bagaimana cara menyelesaikan limit tak hingga bentuk $\infty-\infty$ yang melibatkan akar pangkat 3. Alasan kenapa saya menulis masalah ini, karena kebetulan hari ini pada salah satu grup diskusi matematika yang saya ikuti, ada salah satu pertanyaan yang menanyakan masalah terkait limit tak hingga akar pangkat 3, jadi rasanya perlu untuk saya bahas. Bentuk limit tak hingga akar pangkat 3 yang akan kita bahas yaitu yang bentuknya sebagai berikut $$\lim_{x\to\infty}\left\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}-\sqrt[3]{ax^3+px^2+qx+r}\right$$ Jika kita substitusi akan diperoleh $\infty-\infty$ bentuk tak tentu. Tentu saja penyelesaiannya bukan itu. Kita tidak bisa menghilangkan bentuk akar dengan cara kali sekawan seperti halnya akar pangkat 2. Namun, kita dapat memanfaatkan bentuk aljabar berikut menghilangkan bentuk akar pangkat 3 $$m^3-n^3m^2+mn+n^3$$ Menemukan Cara Cepat Menyelesaikan Limit Tak hingga Akar Pangkat Tiga Mari kita kembali ke bentuk umum permasalah yang akan kita selesaikan yaitu $$\lim_{x\to\infty}\left\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}-\sqrt[3]{ax^3+px^2+qx+r}\right$$ Untuk menghemat penulisan, saya akan gunakan pemisalan sebagai berikut $\displaystyle m={\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}}$ $\displaystyle n={\sqrt[3]{ax^3+px^2+qx+r}}$ maka $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}-\sqrt[3]{ax^3+px^2+qx+r}\right=\lim_{x\to\infty}m-n$ Kita kalikan dengan $\displaystyle\frac{m^2+mn+n^2}{m^2+mn+n^2}$, maka kita peroleh $\begin{align*}\lim_{x\to\infty}m-n\times\frac{m^2+mn+n^2}{m^2+mn+n^2}&=\lim_{x\to\infty}{\frac{m-nm^2+mn+n^2}{m^2+mn+n^2}}\\&=\lim_{x\to\infty}{\frac{m^3-n^3}{m^2+mn+n^2}}\end{align*}$ sekarang, kita substitusikan kembali $\displaystyle m={\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}}$ dan $\displaystyle n={\sqrt[3]{ax^3+px^2+qx+r}}$ ke bentuk limit terakhir yang kita peroleh Karena kita berada dalam konteks limit mendekati tak hingga, maka yang akan kita ambil derajat tertinggi dari penyebut dan pembilang, sehingga kita peroleh $\begin{align*}\lim_{x\to\infty}\frac{b-px^2}{\sqrt[3]{ax^3}^2+\sqrt[3]{ax^3}\sqrt[3]{ax^3}+\sqrt[3]{ax^3}^2}&=\lim_{x\to\infty}{\frac{b-px^2}{\sqrt[3]{ax^3}^2+\sqrt[3]{ax^3}^2+\sqrt[3]{ax^3}^2}}\\&=\lim_{x\to\infty}{\frac{b-px^2}{3\sqrt[3]{ax^3}^2}}\\&=\lim_{x\to\infty}{\frac{b-px^2}{3\sqrt[3]{a^2}x^2}}\\&=\frac{b-p}{3\sqrt[3]{a^2}}\end{align*}$ Dari sederet langkah yang kita lakukan di atas, kita peroleh kesimpulan $$\lim_{x\to\infty}\left\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}-\sqrt[3]{ax^3+px^2+qx+r}\right=\frac{b-p}{3\sqrt[3]{a^2}}$$ Agar mengetahui bagaimana penerapan formula di atas untuk menyelesaikan permasalahan limit tak hingga akar pangkat 3, perhatikan beberapa contoh soal dan pembahasan berikut ini Baca Download bank soal limit tak hingga pdf Contoh 1 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}{\left\sqrt[3]{x^3+12x^2+4x-1}-\sqrt[3]{x^3-6x^2+2x+10}\right}=$ .... Pembahasan $\begin{align*}\lim_{x\to\infty}{\left\sqrt[3]{x^3+12x^2+4x-1}-\sqrt[3]{x^3-6x^2+2x+10}\right}&=\frac{12-6}{3\sqrt[3]{1^2}}\\&=\frac{12+6}{3}\\&=\frac{18}{3}\\&=6\end{align*}$ Contoh 2 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}{\left\sqrt[3]{8x^3+12x^2}-2x+2\right}=$ .... Pembahasan $\begin{align*}\lim_{x\to\infty}\left \sqrt[3]{8x^3+12x^2}-2x+2] \right &=\lim_{x\to\infty}\left \sqrt[3]{8x^3+12x^2} -\sqrt[3]{2x+2^3}\right \\&=\lim_{x\to\infty}\left \sqrt[3]{8x^3+12x^2} -\sqrt[3]{8x^3-24x^2+24x-8}\right \\&=\frac{2-24}{3.\sqrt[3]{8^2}}\\&=\frac{36}{12}\\&=3\end{align*}$ Demikianlah pembahasan terkait materi limit tak hingga akar pangkat 3. Semoga bermanfaat Kelas 11 SMALimit FungsiLimit Fungsi Aljabar di Tak HinggaLimit Fungsi Aljabar di Tak HinggaLimit FungsiKALKULUSMatematikaRekomendasi video solusi lainnya0334lim x ->tak hingga 2x+3^2-7/8x^2-1=....0319lim x->tak hingga x+2-akarx^2+x+1=...0137 Nilai lim x-> tak hingga 2x-33x+1/2x^2+x+1 adalah..0649limit x mendekati tak hingga akar4x^2+x-1-2x+1=...Teks videoHalo friend untuk mengerjakan soal ini kita bisa menggunakan cara cepat dari limit tak hingga oke di sini aku diserahkan untuk cara cepatnya kemudian di sini ada bentuk kita harus menyamakan ini dengan bentuk umum yang ada di sini ya di sini. Nah kemudian di sini berarti bisa kita tulis limit x mendekati tak hingga kemudian ini akar dari 16 x kuadrat + 10 x min 3 ini nggak usah kita ubah lagi karena udah sama dengan yang ada di sini ya Nah kemudian di sini. Nah ini kita minusnya kita keluarkan dari kurung kemudian berarti ini 4x min 1 jika kita kalikan jadi minus 4 x + 1 ya sama seperti yang ada di sini kemudian ini bisa langsung kita akarkan kemudian kita kuadratkan ituBernilai akan sama seperti yang ada di sini ya. Oke kemudian di sini kita tulis ulang lagi jadi limit x mendekati tak hingga kemudian Kemudian akar dari 16 x kuadrat + 10 x kemudian dikurangi 3 kemudian ini dikurang dengan 16 x kuadrat min 8 x kemudian + 1 kemudian di sini kita lihat untuk nilai a dan b nilai a dan b sama-sama bernilai 16 oleh karena itu disini kita bisa menggunakan rumus P Min Q per 2 akar a untuk mencari nilai limit nya kan disini aku tulis b-nya itu adalah 10 kemudian kirinya itu adalah minus 8 kemudian dibagi dengan 2 akar 16 = 18 per n kurang rapi ya Ini akugelas di sini berarti = 18 per 2 akar 2 * 4 ya jadi = 18 per 8 ke pembilang dan penyebutnya kita bagi dengan 2 jadi = 9 per 4 jawabannya adalah yang baik dari sini sampai jumpa di soal berikutnyaSukses nggak pernah instan. Latihan topik lain, yuk!12 SMAPeluang WajibKekongruenan dan KesebangunanStatistika InferensiaDimensi TigaStatistika WajibLimit Fungsi TrigonometriTurunan Fungsi Trigonometri11 SMABarisanLimit FungsiTurunanIntegralPersamaan Lingkaran dan Irisan Dua LingkaranIntegral TentuIntegral ParsialInduksi MatematikaProgram LinearMatriksTransformasiFungsi TrigonometriPersamaan TrigonometriIrisan KerucutPolinomial10 SMAFungsiTrigonometriSkalar dan vektor serta operasi aljabar vektorLogika MatematikaPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel WajibPertidaksamaan Rasional Dan Irasional Satu VariabelSistem Persamaan Linear Tiga VariabelSistem Pertidaksamaan Dua VariabelSistem Persamaan Linier Dua VariabelSistem Pertidaksamaan Linier Dua VariabelGrafik, Persamaan, Dan Pertidaksamaan Eksponen Dan Logaritma9 SMPTransformasi GeometriKesebangunan dan KongruensiBangun Ruang Sisi LengkungBilangan Berpangkat Dan Bentuk AkarPersamaan KuadratFungsi Kuadrat8 SMPTeorema PhytagorasLingkaranGaris Singgung LingkaranBangun Ruang Sisi DatarPeluangPola Bilangan Dan Barisan BilanganKoordinat CartesiusRelasi Dan FungsiPersamaan Garis LurusSistem Persamaan Linear Dua Variabel Spldv7 SMPPerbandinganAritmetika Sosial Aplikasi AljabarSudut dan Garis SejajarSegi EmpatSegitigaStatistikaBilangan Bulat Dan PecahanHimpunanOperasi Dan Faktorisasi Bentuk AljabarPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel6 SDBangun RuangStatistika 6Sistem KoordinatBilangan BulatLingkaran5 SDBangun RuangPengumpulan dan Penyajian DataOperasi Bilangan PecahanKecepatan Dan DebitSkalaPerpangkatan Dan Akar4 SDAproksimasi / PembulatanBangun DatarStatistikaPengukuran SudutBilangan RomawiPecahanKPK Dan FPB12 SMATeori Relativitas KhususKonsep dan Fenomena KuantumTeknologi DigitalInti AtomSumber-Sumber EnergiRangkaian Arus SearahListrik Statis ElektrostatikaMedan MagnetInduksi ElektromagnetikRangkaian Arus Bolak BalikRadiasi Elektromagnetik11 SMAHukum TermodinamikaCiri-Ciri Gelombang MekanikGelombang Berjalan dan Gelombang StasionerGelombang BunyiGelombang CahayaAlat-Alat OptikGejala Pemanasan GlobalAlternatif SolusiKeseimbangan Dan Dinamika RotasiElastisitas Dan Hukum HookeFluida StatikFluida DinamikSuhu, Kalor Dan Perpindahan KalorTeori Kinetik Gas10 SMAHukum NewtonHukum Newton Tentang GravitasiUsaha Kerja Dan EnergiMomentum dan ImpulsGetaran HarmonisHakikat Fisika Dan Prosedur IlmiahPengukuranVektorGerak LurusGerak ParabolaGerak Melingkar9 SMPKelistrikan, Kemagnetan dan Pemanfaatannya dalam Produk TeknologiProduk TeknologiSifat BahanKelistrikan Dan Teknologi Listrik Di Lingkungan8 SMPTekananCahayaGetaran dan GelombangGerak Dan GayaPesawat Sederhana7 SMPTata SuryaObjek Ilmu Pengetahuan Alam Dan PengamatannyaZat Dan KarakteristiknyaSuhu Dan KalorEnergiFisika Geografi12 SMAStruktur, Tata Nama, Sifat, Isomer, Identifikasi, dan Kegunaan SenyawaBenzena dan TurunannyaStruktur, Tata Nama, Sifat, Penggunaan, dan Penggolongan MakromolekulSifat Koligatif LarutanReaksi Redoks Dan Sel ElektrokimiaKimia Unsur11 SMAAsam dan BasaKesetimbangan Ion dan pH Larutan GaramLarutan PenyanggaTitrasiKesetimbangan Larutan KspSistem KoloidKimia TerapanSenyawa HidrokarbonMinyak BumiTermokimiaLaju ReaksiKesetimbangan Kimia Dan Pergeseran Kesetimbangan10 SMALarutan Elektrolit dan Larutan Non-ElektrolitReaksi Reduksi dan Oksidasi serta Tata Nama SenyawaHukum-Hukum Dasar Kimia dan StoikiometriMetode Ilmiah, Hakikat Ilmu Kimia, Keselamatan dan Keamanan Kimia di Laboratorium, serta Peran Kimia dalam KehidupanStruktur Atom Dan Tabel PeriodikIkatan Kimia, Bentuk Molekul, Dan Interaksi Antarmolekul

limit x mendekati tak hingga bentuk akar